2019/8でもまた、接続不良の症状があるようで、当ページにアクセスされる方が増えていますので、ページ最下部に追記しました。
母の環境での話ですが、ハマったので情報共有の意味を込めて記事にします。
症状としては、AndroidのNX！メールというアプリ（富士通スマホ用のメーラー）でGmailの送信/受信ができない、というものです。
解決策
結論から行きます。
Gmailアプリ（公式）を使う、です。すみません。
富士通のお知らせがこちらです。
「NX！メール」「NX！電話帳」をご愛用のお客様へのお知らせ – FMWORLD.NET（個人） : 富士通
これはGoogleのポリシー変更に伴う事案のようです。
ポリシー変更やメーカー対応の是非には言及しません。ただ、気付かなかった、このお知らせに。
症状
母の環境は、NX！メールでGmailアカウント1つだけを管理していたので、他のメールサービスとの連携は分かりません。
簡単に言えば、NX！メールでは、Gmailが送れない、Gmailが受け取れない、です。
Gmailサーバー上には受信メールがあるので、他のアプリから確認することができます。
ただ、急に受信できなくなっているので、そもそもメールが来たことに気付けません。
また、送信が失敗しているメールはGmailサーバーにも同期できていないと思います。
試したこと
解決に向けて色々試したこと。（どれも解決してないけど）
- Gmailアプリでメールの送受信を確認→Gmailアカウントの問題ではなさそう
- スマホの別アプリは通信できている→スマホの通信の問題ではなさそう
念の為、NX！メールアプリの通信制限がかかってないことを確認 - NX！メールの送受信設定を確認→設定値の問題ではなさそう
- アプリのキャッシュ削除→変わらず
- アプリのGmailアカウント削除、新規登録→新規登録できず
- アプリの再インストールを試そうとする→プリインストールなのでアップデート削除→アップデートが出てこない
このへんで？？？となりました。5番やった時点でNX！メール上は空っぽに。戻せず焦っていたらTwitterで情報ゲット。
「NX！メール」「NX！電話帳」をご愛用のお客様へのお知らせ https://t.co/m8RvvxUMpq
— memn0ck (@memn0ck) 2019年4月9日
参っちゃうね。
2019/8/26追記
上記の症状は、アプリのバージョンアップや、Google（Gmail）の利用許可操作を行うことで、受信が可能になったようです。
「NX！メール」「NX！電話帳」をご愛用のお客様へのお知らせ – FMWORLD.NET（個人） : 富士通
しかし、8/7頃から、再度通信が失敗する事象が起きているようです。 詳細は調査中のようですが、ひとまず下記のページの操作をすることで、今回の事象を回避できるようです。スマートフォン・タブレット・携帯電話（「NX！メールでGoogleメールアカウントでのメール送受信ができない」事象について） – FMWORLD.NET（個人） : 富士通
既に我が家の母は、gmail公式に移行しているので、上記方法を実際には実行していませんので、ご了承ください。
機種（メーカー）変更時のことも考えると、公式アプリに慣れておくのも手かもしれません。
今回2019/8の事象で、当ページにアクセスされる方が多かったので、現況にあわせて更新しました。
少しでもお役に立てれば幸いです。
